O menor custo nem sempre atende ao prazo. Uma função permite calcular a velocidade econômica, comparar a urgência e compreender quais condições precisam entrar na decisão.
Uma entrega e duas formas de gastar
O problema começa com uma empresa de logística que transporta cargas leves entre cidades. O exercício fornece um modelo do custo por quilômetro em função da velocidade média. Combustível e desgaste crescem com o quadrado da velocidade, enquanto salários e depreciação por tempo ficam distribuídos por mais quilômetros quando a viagem é mais rápida.
A velocidade v está em km/h e o custo C(v), em R$/km. O termo 90/v corresponde a um componente de R$ 90 por hora dividido pela velocidade. Os valores são dados do exercício, não uma estimativa medida em uma frota específica.
Por que os dois extremos ficam caros?
Quando a velocidade tende a zero pela direita, o tempo necessário para percorrer cada quilômetro cresce sem limite. O termo 90/v aumenta e o custo total tende a infinito. Não significa que exista uma viagem efetivamente realizada a zero km/h: esse valor está fora do domínio.
Quando a velocidade cresce sem limite, o termo 0,0025v² domina e o custo também tende a infinito. O comportamento sugere uma região intermediária mais econômica, que precisa ser determinada pelo cálculo.
Uma tabela ajuda, mas não encerra a investigação
A tabela solicitada no trabalho apresenta cinco velocidades. Os três componentes abaixo estão em R$/km, com três casas decimais para preservar o valor de 80 km/h.
| Velocidade | Quadrático | Por tempo | Total |
|---|---|---|---|
| 30 km/h | 2,250 | 3,000 | 5,250 |
| 50 km/h | 6,250 | 1,800 | 8,050 |
| 60 km/h | 9,000 | 1,500 | 10,500 |
| 80 km/h | 16,000 | 1,125 | 17,125 |
| 100 km/h | 25,000 | 0,900 | 25,900 |
Entre os valores tabelados, 30 km/h custa menos. Entretanto, a função aceita outras velocidades positivas. Por isso, o menor valor da tabela não prova o mínimo contínuo. Todos os pontos solicitados ficam à direita da velocidade ótima.
A derivada encontra a velocidade econômica
Derivando o modelo, obtemos:
No ponto crítico, C′(v) = 0. Como v é positivo, multiplicamos por v² e chegamos a 0,005v³ = 90. Logo, v³ = 18.000 e:
Para provar que esse ponto minimiza o custo, observamos que C″(v) = 0,005 + 180/v³ é positiva em todo o domínio. A função é estritamente convexa. A derivada muda de negativa para positiva e existe um único mínimo global, como fundamentam os critérios de extremos estudados no cálculo.
Substituindo a velocidade ótima sem arredondar os resultados intermediários, encontramos C(v*) ≈ R$ 5,151214 por quilômetro. No ótimo, o componente por tempo vale aproximadamente R$ 3,434143/km, o dobro do componente quadrático, de R$ 1,717071/km.
O custo de cumprir a urgência
O exercício considera uma rota de 240 km. O custo total é K(v) = 240 C(v). Na velocidade econômica, a viagem custa R$ 1.236,29. O tempo calculado por 240/v* é de aproximadamente 9 horas e 9 minutos.
Se a velocidade média sobe para 90 km/h, C(90) = 0,0025 × 90² + 90/90 = 21,25. A rota custa R$ 5.100,00 e o tempo calculado cai para 2 horas e 40 minutos.
A diferença é de R$ 3.863,71. Dividindo essa diferença pelo custo mínimo, o aumento é de 312,52%. O custo final equivale a 412,52% do mínimo: esse percentual descreve o total, enquanto 312,52% descreve o acréscimo.
A derivada encontra um mínimo. A decisão precisa verificar se ele atende às condições da operação.
O que muda quando existe um prazo?
Vamos acrescentar uma hipótese didática: a entrega deve ocorrer em até quatro horas e a velocidade média tem um teto de 90 km/h. O prazo exige 240/v ≤ 4, isto é, v ≥ 60 km/h. O ótimo de 26,21 km/h fica fora da faixa viável.
Como o custo cresce acima do ótimo, 60 km/h minimiza o gasto entre as velocidades que atendem a essas condições. O custo da viagem passa a R$ 2.520,00. O novo valor vem de uma condição adicional, sem alterar a resposta do exercício original.
Se o prazo fosse de duas horas, a rota exigiria média de 120 km/h. Com teto de 90, esse planejamento seria inviável. O modelo ajudaria a reconhecer a necessidade de revisar prazo, organização ou alternativa de transporte.
Da conta para uma decisão justificada
O modelo não incorpora diretamente trânsito, paradas adicionais, carga, relevo, clima, pedágios ou diferenças entre veículos. Seus coeficientes precisariam de dados reais para apoiar uma operação concreta. A velocidade é média, e requisitos de segurança e condições da via delimitam as alternativas possíveis.
Na gestão pública, esse raciocínio pode apoiar uma investigação sobre distribuição de materiais entre unidades. Seria necessário estimar custos próprios, definir prazos e avaliar a qualidade do serviço. A matemática torna a decisão rastreável: quais condições foram consideradas, qual alternativa foi comparada e por que ela foi escolhida.
Para ensinar, a experiência pode começar com uma previsão: acelerar sempre reduz o custo? Depois, o estudante explora a curva, compara a tabela, acompanha a derivada e justifica a escolha em um cenário com prazo. Os desafios avaliam interpretação e cálculo, além do resultado final.
Materiais do estudo
O trabalho acadêmico apresenta a resolução passo a passo. A apresentação organiza os resultados para uma exposição de 15 minutos.
Referências e leituras
- Trabalho Prático de Matemática Aplicada. Modelagem e Otimização para Tomada de Decisão. Enunciado da atividade, 2026.
- STRANG, Gilbert; HERMAN, Edwin. Calculus Volume 1 — Maxima and Minima. OpenStax, 2016. Acesso em 30 set. 2026.
- STRANG, Gilbert; HERMAN, Edwin. Calculus Volume 1 — Applied Optimization Problems. OpenStax, 2016. Acesso em 30 set. 2026.
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